Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем, по существу, сводится к задачам многомерной гидродинамики…

В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике.
Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В.В.Козлова, посвященная исследованию уравнений Дуффинга.
Содержание
Некоторые используемые обозначения 8
От редакции 9
Предисловие 11
Глава I. Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым 14
1. Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии
аналитических интегралов 14
2. Пример из динамики 22
3. Несуществование частных аналитических интегралов 25
4. Приложение к динамике. Вынужденные колебания
математического маятника 30
Исторический очерк 35
Глава II. Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо 37
1. Переменные действие-угол 37
2. Числа вращения и их свойства 44
3. Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо 49
4. Разложение возмущающей функции 51
Исторический очерк 53
Глава III. Неинтегрируемость задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 55
1. Структура векового множества 55
2. Задача о несуществовании
нового аналитического интеграла 61
3. Несуществование дополнительного
интеграла, аналитического в специальных канонических переменных 63
4. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных Эйлера-Пуассона 68
Исторический очерк 72
Глава IV. Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела 74
1. Характеристические показатели. Теорема
Пуанкаре о периодических решениях 74
2. Возмущение равномерных движений 80
3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо 86
4. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости 97
5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо 98
6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса-Аппельрота 105
Исторический очерк 106
Глава V. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела 107
1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов 107
2. Доказательство теоремы $1$ 111
3. Приложение к задаче о вращении
тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 113
4. Доказательство теоремы 2 116
5. Приложение к вынужденным колебаниям математического маятника 120 Исторический очерк 125
Глава VI. Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела 130
1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова 130
2. Аналог леммы Гаусса 137
3. Либрации в системах со многими степенями свободы 140
4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле 143
Исторический очерк 146
Глава VII. Вопросы качественного анализа движения волчка Горячева-Чаплыгина 148
1. Разделение переменных
в случае Горячева-Чаплыгина 149
2. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина 152
3. Задача о собственном вращении 157
4. Задача о движении линии узлов 161
5. Теорема о временных средних 167
Исторический очерк 170
Глава VIII. Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций 172 1. Уточнение одной теоремы Боля 173
2. Теорема о возвращении 177
3. Теорема о нулях 187
4. Динамические системы
с интегральным инвариантом на торе 189
5. Приложение к задаче о движении линии узлов в случае Горячева-Чаплыгина 195
Исторический очерк 197
Глава IX. Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской 199
1. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской 199
2. Собственное вращение 206
3. Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых системах 211
4. Поведение линии узлов. Качественная картина вращения волчка Ковалевской 215
5. Приложение к исследованию обобщенных лиувиллевых систем 217
Исторический очерк 224
Литература 226
Приложение. О периодических решениях уравнений Дуффинга 234
1. Уравнения Дуффинга 234
2. Периодические решения 235
3. Расщепление сепаратрис и периодические решения 242